摘　要:通过对中国传统数学的《九章算术》和古希腊数学的《几何原本》进行比较,掌握、了解中国传统数学及古希腊数学的内容、结构、主要特征和成就等,分析了中国传统数学的价值、特点. 阐明了应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统,同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造,以适应时代、社会的发展.

    我国古代数学巨著《九章算术》流传至今已达两千余年之久,不仅指导着我国数学的发展,而且早已流传到世界各地,翻译成日、英、俄、德等多种文字,对世界数学的发展也有不可估量的巨大贡献和影响. 把《九章算术》与西方最早的一本数学名著欧几里得的《几何原本》相对照,就可以发现从形式到内容都各有特色和所长,形成东、西方数学的不同风格.

    《九章算术》和《几何原本》同为世界最重要的数学经典.《九章算术》以其实用、算法性称誉世界,《几何原本》以其逻辑演绎的思想方法风靡整个科学界. 二者是互相补充的,并非一个掩盖另一个. 中国数学属于机械化算法体系;着眼于“算”———把问题分门别类,然后用一个固定的方程式解决一类问题的计算. 而古希腊数学属于公理化演绎体系,着眼于“理”———首先给出公理、公设、定义,尔后在此基础上有条不紊地、由简到繁地进行一系列定理的证明.

    1　《九章算术》主要价值

　　(1)《九章算术》以算法为中心,属于应用数学

    中国数学不脱离社会生活与生产的实际,以解决实际问题为目标,数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的.

    例如在《九章算术》的第二、三、六等章内,广泛地使用了各种比例解应用问题. 粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下:“粟米之法:粟率五十,粝米三十,粺米二十七,糳米二十四, ……”这是说:谷子五斗去皮可得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,……

    又例如,粟米章第一题:“今有粟米一斗,欲为粝米,问得几何”. 它的解法是:“以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一”. 用现代的方式来表达,即为公式:

    或所求数=所有数×所求率/所有率

    或所求数∶所有数=所求率∶所有率

    这个题是欲将粟米换成粝米,其中“粟米一斗(十升) ”是“所有数”,粝米数即为“所求数”,按规定“粟率五十”为“所有率”,粝米30为“所求率”. 于是得所求数为10 ×30 ÷50 = 6 (升) ,这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米. 因而可以根据物与物的比率,再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数) ,因为这类应用问题大都依据“今有”的数据,问所求的数,因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词.

　　(2)《九章算术》具有较强的社会性

    中国传统数学文化中,数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识———六艺(礼、乐、射、御、书、数)之一,它的作用在于“通神明、顺性命,经世务、类万物”.

    例如《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术,所谓“衰分”就是差分. 比例分配的意思,它是古代处理配分问题的一般方法,“衰分术曰,各置列衰(即所配的比率) ,副并(得所配比率的和)为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一”,刘徽注的《九章算术》说:“列衰各为所求率,副并(所得的和)为所有率,所分为所有数”,用“今有术”计算,就可以得到各所求数. 例如衰分章第二题:“今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰,我羊食半马(所食) ,马主曰,我马食半牛(所食) ,今欲衰偿之,问各几何”,依照羊主人、马主人的话,牛、马、羊所食粟相互之比率是4 ∶2 ∶1,就用4、2、1各为所求率, 4 + 2+ 1 = 7为所有率,粟50升为所有数. 以“今有术”演算分别得牛主人应偿50 ×4/7= 28+4/7(升) ,马主人应偿14+2/7(升) ,羊主人应偿7+4/7(升).

    所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印,往往与术数交织在一起. 同时,数学教育与研究往往被封建政府所控制,唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员,这些事例充分反映了这一性质.

　　(3)《九章算术》寓理于算,理论高度概括

    由于中国传统数学注重解决实际问题,而且因中国人综合、归纳思维的决定,所以中国传统数学不关心数学理论的形式化,但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树. 其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础,中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象
直观的数学原理之上.

    如代数中的“率”的理论,平面几何中的“出入相补”原理,立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”(或称刘祖原理,即卡瓦列利原理)等等.

    我们知道关于数学活动有两项基本工作———证明与计算,前者是由于接受了公理化(演绎化)数学文化传统,后者是由于接受了机械化(算法化)数学文化传统. 在世界数学文化传统中,以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学,无疑是西方演绎数学传统的基础,而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法化数学传统的基础,它们东西辉映,共同促进了世界数学文化的发展.

    中国数学通过丝绸之路传播到印度、阿拉伯地区,后来经阿拉伯人传入西方. 而且在汉字文化圈内,一直影响着日本、朝鲜半岛、越南等亚洲国家的数学发展.

    2　《九章算术》所代表的中国传统数学的特点

    通过对中国传统数学的《九章算术》和古希腊数学的《几何原本》比较,我们可清楚的看到中国传统数学的特点如下:

    (1)中国传统数学最基本的特点是具有鲜明的社会性. 通观中国古典数学著作的内容,几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系. 从《九章算术》开始,中国算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成,其内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际需要,具有浓厚的应用数学的色彩.

    (2)中国传统数学教育与研究始终置于政府的控制之下,以适应统治阶级的需要.

    (3)中国数学家的数学论著深受历史上各种社会思潮、哲学流派以至宗教神学的影响,具有形形色色的社会痕迹.

    (4)中国传统数学是以几何方法和代数方法的相互渗透表现为形数结合的,是用算筹来计算的,并采用了十进位制. 同时,用一整套“程序语言”来揭示计算方法,而演算程序简捷而巧妙.

    (5)中国传统数学理论表现为运算过程之中,即“寓理于算”. 中国数学家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念,提炼出一般的数学原理,作为研究众多数学问题的基础.

    古希腊数学属于公理化演绎体系,着眼于“理”———首先给出公理、公设、定义,尔后在此基础上有条不紊地、由简到繁地进行一系列定理的证明;中国数学属于机械化算法体系;着眼于“算”———把问题分门别类,然后用一个固定的方程式解决一类问题的计算.

    3　结束语

    中国的传统数学,大部分以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标. 理性探讨在这里退居其次. 因此,从文化意义上看,中国数学可以说是“管理数学”,存在的形式则是官方的文书. 中国传统数学强调实用的管理数学,在算法上得到了长足的发展. 负数的运用、解方程的开根法,以及杨辉(贾宪)三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题,也只能在中国诞生,而为古希腊文明所轻视. 因此,我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统,同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造,以适应时代、社会的发展.

                  （作者系西安文理学院数学系副教授）

[参　考　文　献]

[ 1 ] 　杨渭清. 从《九章算术》与《几何原本》看中国传统数学与古希腊数学[ J ]. 西安文理学院高教研究, 2007 (2) : 35 -41.
[ 2 ] 　李继闵.《九章算术》导读与译注[M ]. 西安:陕西科学技术出版社, 1998.
[ 3 ] 　(古希腊)欧几里得. 欧几里得·几何原本[M ]. 西安:陕西科学技术出版社, 2003.
[ 4 ] 　郑毓信,王宪昌,蔡仲. 数学文化学[M ]. 成都:四川教育出版社, 2000.
[ 5 ] 　王树禾. 数学思想史[M ]. 北京:国防工业出版社, 2003.
[ 6 ] 　(美) 柯朗. 什么是数学:对思想和方法的基本研究(增订版) [M ]. 上海:复旦大学出版社, 2005.